在棱长为a的正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，E是线段A 1 C 1 的中点，AC∩BD=F．

证明：（Ⅰ）根据正方体的性质BD⊥AC，
因为AA ₁ ⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥AA ₁ ，又AC∩AA ₁ =A
所以BD⊥平面ACC ₁ A ₁ ，CE⊂平面ACC ₁ A ₁ ，所以CE⊥BD；
（Ⅱ）连接A ₁ F，
因为AA ₁ ∥ BB ₁ ∥ CC ₁ ，AA ₁ =BB ₁ =CC ₁ ，
所以ACC ₁ A ₁ 为平行四边形，因此A ₁ C ₁ ∥ AC，A ₁ C ₁ =AC
由于E是线段A ₁ C ₁ 的中点，所以CE ∥ FA ₁ ，因为FA ₁ ⊂面A ₁ BD，CE⊄平面A ₁ BD，
所以CE ∥ 平面A ₁ BD
（Ⅲ） V D- A 1 BC = V A 1 -BCD =
1
3 • S △BCD • A 1 A=
a 3
6