设抛物线C 1 ：y 2 =4mx（m＞0）的准线与x轴交于点F 1 ，焦点为F 2 ；椭圆C 2 以F 1 、F 2

（I）①∵c ₁ ：y ² =4mx的右焦点F ₂ （m，0）∴椭圆的半焦距c=m，
又 e=
1
2 ，∴椭圆的长半轴的长a=2m，短半轴的长 b=
3 m ．
椭圆方程为
x 2
4 m 2 +
y 2
3 m 2 =1 ，
∴当m=1时，故椭圆方程为
x 2
4 +
y 2
3 =1 ．
②由题意得，若x=3，则y=±2
3 ，线段AB不可能被点P（3，2）平分，
∴直线l的斜率k一定存在，不妨设直线l的方程为：y-2=k（x-3），A（x ₁ ，y ₁ ），B（x ₂ ，y ₂ ）
由

y 2 =4x
y-2=k(x-3) 得ky ² -4y-12k+8=0，
∴y ₁ +y ₂ =
4
k =4，∴k=1，
∴直线l的方程为：y-2=x-3，即y=x-1．
（II）假设存在满足条件的实数m，
由

y 2 =4mx

x 2
4 m 2 +
y 2
3 m 2 =1 ，解得： Q(
2
3 m，
8
3 m) ，
∴ |Q F 2 |=
2
3 m+m=
5
3 m ， |Q F 1 |=4m-|Q F 2 |=
7
3 m ，又 | F 1 F 2 |=2m=
6
3 m ．
即△QF ₁ F ₂ 的边长分别是
5
3 m 、
6
3 m 、
7
3 m ．
∵
6m
3 -
5m
3 =
7m
3 -
6m
3 =1 ∴m=3，
故存在实数m使△PF ₁ F ₂ 的边长是连续的自然数．