三角不等式证明证明sin(x+y)+sin(y+z)+sin(z+x)>sinx+siny+sinz+sin(x+y+z

【证明】首先必须了解和差化积公式
sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] （1）
sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] （2）
cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] （3）
cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] （4）
公式来自
下面开始变形
sin(x+y)+sin(y+z)+sin(z+x)-sinx-siny-sinz-sin(x+y+z)
=[sin(x+y)-sinz]+[sin(y+z)-sinx]+[sin(z+x)-siny]-sin(x+y+z)
利用公式（2）
=2cos[(x+y+z)/2]*sin[(x+y-z)/2]+2cos[(x+y+z)/2]*sin[(y+z-x)/2]+
2cos[(x+y+z)/2]*sin[(x+z-y)/2]-sin(x+y+z) 利用二倍角公式化最后一项
=2cos[(x+y+z)/2]*sin[(x+y-z)/2]+2cos[(x+y+z)/2]*sin[(y+z-x)/2]+
2cos[(x+y+z)/2]*sin[(x+z-y)/2]-2*cos[(x+y+z)/2]*sin[(x+y+z)/2]
提公因式得
=2cos[(x+y+z)/2]*{sin[(x+y-z)/2]+sin[(y+z-x)/2]
+sin[(x+z-y)/2-sin[(x+y+z)/2]} 分别利用公式(1)(2)
=2cos[(x+y+z)/2]*{2siny*cos(x-z)-2siny*cos(x+z)}
=2cos[(x+y+z)/2]*2siny*[cos(x-z)-cos(x+z)] 利用公式(4)
=8cos[(x+y+z)/2]*siny*sinx*sinz
剩下的就只有符号问题的讨论了,自己去判断吧,相信你!