（2014•安庆模拟）已知函数f（x）=lnx+[a/x+1]（a∈R）．

解题思路：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），当a＝

9

2

时，f′(x)＝

x2− 5 2 x+1

x(x+1)2

＝

(x− 1 2 )(x−2)

x(x+1)2

．令f'（x）=0，则x＝

1

2

或x=2．列出表格即可得出单调性．
（2）令g（x）=x²+（2-a）x+1，分类讨论：①当△=（2-a）²-4=a²-4a≤0，f'（x）≥0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时无极值点；
②当

△＞0 a−2＜0

，方程g（x）=0有两个不相等的负实根，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时无极值点．

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′(x)＝
1
x−
a
(x+1)2＝
x2+(2−a)x+1
x(x+1)2，
当a＝
9
2时，f′(x)＝
x2−
5
2x+1
x(x+1)2＝
(x−
1
2)(x−2)
x(x+1)2．
令f'（x）=0，则x＝
1
2或x=2．
于是得下表：

x(0，
1
2)(
1
2，2)（2，+∞）
f'（x）+-+
f（x）单调递增单调递减单调递增当a＝
9
2时，函数f（x）的单调递增区间为(0，
1
2)，（2，+∞），单调递减区间为(
1
2，2)．
（2）令g（x）=x²+（2-a）x+1，
①当△=（2-a）²-4=a²-4a≤0，即0≤a≤4时，f'（x）≥0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时无极值点；
②当

△＞0
a−2＜0即a＜0时，方程x²+（2-a）x+1=0有两个不相等的负实根，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时无极值点．
综上可得：实数a的取值范围为（-∞，4]．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、二次函数的单调性、一元二次方程实数解与判别式的关系，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．