如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过
| 如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax 2 +bx+c经过O、A、C三点． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中  与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． |
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（1）∵抛物线y=ax 2 +bx+c经过点O、A、C，可得c=0，
∴
，
解得a=
，b=
，
∴抛物线解析式为y=
x 2 +
x．
（2）设点P的横坐标为t，∵PN∥CD，
∴△OPN∽△OCD，可得PN=
∴P（t，
），
∵点M在抛物线上，∴M（t，
t 2 +
t）．
如图①，过M点作MG⊥AB于G，过P
点作PH⊥AB于H，
AG=y A ﹣y M =2﹣（
t 2 +
t）=
t 2 ﹣
t+2，
BH=PN=
．
当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，
∴
t 2 ﹣
t+2=
，化简得3t 2 ﹣8t+4=0，
解得t 1 =2（不合题意，舍去），t 2 =
，
∴点P的坐标为（
，
）
∴存在点P（
，
），使得四边形ABPM为等腰梯形．
（3）如图②，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R．
求得过A、C的直线为yAC=﹣x+3，可设点A′的横坐标为a，
则点A′（a，﹣a+3），易知△OQT∽△OCD，
可得QT=
，∴点Q的坐标为（a，
）．
解法一：设AB与OC相交于点J，
∵△ARQ∽△AOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，
∴
=
∴HT=
=
=2﹣a，KT=
A′T=
（3﹣a），
A′Q=yA′﹣yQ=（﹣a+3）﹣
=3﹣
a．
S 四边形RKTQ =S △A′KT ﹣S △A′RQ =
KT?A′T﹣
A′Q?HT
=
∴
，解得a=
，b=
，∴抛物线解析式为y=
x 2 +
x．（2）设点P的横坐标为t，∵PN∥CD，
∴△OPN∽△OCD，可得PN=
∴P（t，
），∵点M在抛物线上，∴M（t，
t 2 +
t）．如图①，过M点作MG⊥AB于G，过P
点作PH⊥AB于H，AG=y A ﹣y M =2﹣（
t 2 +
t）=
t 2 ﹣
t+2，BH=PN=
．当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，
∴
t 2 ﹣
t+2=
，化简得3t 2 ﹣8t+4=0，解得t 1 =2（不合题意，舍去），t 2 =
，∴点P的坐标为（
，
）∴存在点P（
，
），使得四边形ABPM为等腰梯形．（3）如图②，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R．
求得过A、C的直线为yAC=﹣x+3，可设点A′的横坐标为a，
则点A′（a，﹣a+3），易知△OQT∽△OCD，
可得QT=
，∴点Q的坐标为（a，
）．解法一：设AB与OC相交于点J，
∵△ARQ∽△AOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，
∴
=
∴HT=
=
=2﹣a，KT=
A′T=
（3﹣a），A′Q=yA′﹣yQ=（﹣a+3）﹣
=3﹣
a．S 四边形RKTQ =S △A′KT ﹣S △A′RQ =
KT?A′T﹣
A′Q?HT=
1年前
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