(2014•闵行区二模)已知:如图,把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中,使直角边OB、OD在

(2014•闵行区二模)已知:如图,把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中,使直角边OB、OD在x轴上.已知点A(1,2),过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F.抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点.
(1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标;
(2)点P为线段OC上一个动点,过点P作y轴的平行线交抛物线于点M,交x轴于点N,问是否存在这样的点P,使得四边形ABPM为等腰梯形?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
韓何 1年前 已收到1个回答 举报

二十七岁开使 幼苗

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解题思路:(1)抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C,利用待定系数法求抛物线的解析式;
(2)根据等腰梯形的性质,确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系,得到一元二次方程,求出t的值,从而可解.结论:存在点P([2/3],[1/3]),使得四边形ABPM为等腰梯形.

(1)∵Rt△AOB≌Rt△COD,
∴AB=OD,OB=CD,
∴点A(1,2),
∴OD=AB=2,OB=CD=1,
∴C(2,1),
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O(0,0),
∴可得c=0,
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A,C,


a+b=2
4a+2b=1,
解得

a=−
3
2
b=
7
2,
∴抛物线解析式为y=-[3/2]x2+[7/2]x,
∴对称轴是直线x=[7/6],顶点坐标为([7/6],[49/24]);
(2)存在这样的点P,使得四边形ABPM为等腰梯形,理由如下:
设点P的横坐标为t,
∵PN∥CD,
∴△OPN∽△OCD,
可得PN=[t/2],∴P(t,[t/2]),
∵点M在抛物线上,
∴M(t,-[3/2]t2+[7/2]t),
过M点作MG⊥AB于G,过P点作PH⊥AB于H,
AG=yA-yM=2-(-[3/2]t2+[7/2]t)=[3/2]t2-

点评:
本题考点: 二次函数综合题.

考点点评: 本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数的最值、等腰梯形、相似三角形,涉及到的知识点众多,难度较大,对学生能力要求较高,有利于训练并提升学生解决复杂问题的能力.

1年前

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