已知k∈R，函数f（x）=ax+k•bx（a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1）

已知k∈R，函数f（x）=ax+k•bx（a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1）
（1）已知函数y＝x+
1
x
(x＞0)在区间（0，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增．若a＝2，b＝
1
2
，k＝1，求函数f（x）的单调区间．
（2）若实数a，b满足ab=1．求k的值，使得函数f（x）具有奇偶性．（写出完整解题过程）
541256 1年前 已收到1个回答 举报
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优怡 春芽

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解题思路：（1）将a，b的值代入，得到f(x)＝2x+
1
2x]，换元，令t=2x，根据y＝t+
1
t
(t＞0)的单调区间判断函数的单调区间．
（2）根据奇函数偶函数的概念，代入f（x），化简整理，求得k的值．

（1）当a＝2，b＝
1
2，k＝1时，函数f(x)＝2x+
1
2x…（1分）
令t=2x（t＞0），则原函数变为y＝t+
1
t(t＞0)
由条件知，当t∈（0，1]时，y单调递减．此时x∈（-∞，0]，且t=2x在（-∞，0]上单调递增．
所以有函数f(x)＝2x+
1
2x在（-∞，0]上单调递减．…（3分）
当t∈[1，+∞）时，y单调递增．此时x∈[0，+∞），且t=2x在[0，+∞）上单调递增．
所以有函数f(x)＝2x+
1
2x在（-∞，0]上单调递增．…（3分）
综上，f(x)＝2x+
1
2x在（-∞，0]上单调递减，在（-∞，0]上单调递增． …（1分）
（2）由题意，ab=1，所以有[1/a＝b，
1
b＝a
①若f（x）为奇函数，则有f（-x）=-f（x），即a-x+kb-x=-（ax+kbx），
即(
1
a)x+k(
1
b)x＝−(ax+kbx)，得bx+kax=-（ax+kbx），
整理得（1+k）（bx+ax）=0，所以有1+k=0，得k=-1…（3分）
②若f（x）为偶函数，则有f（-x）=f（x），即a-x+kb-x=ax+kbx，
即(
1
a)x+k(
1
b)x＝ax+kbx，得bx+kax=ax+kbx，所以得k=1…（3分）
综上有，k=-1时，f（x）为奇函数，k=1时，f（x）为偶函数．…（1分）

点评：
本题考点： 复合函数的单调性；函数奇偶性的性质．

考点点评： 本题考查了复合函数的单调性以及函数的奇偶性，中间用到了换元法，是中档题．

1年前

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