一道数学题11设a是3的正整数次幂,b是2的正整数次幂,试确定所有这样的a、b,使二次方程x²-ax+b=0的

令 a = 3^m ,b = 2^n ,（m、n是正整数）
由韦达定理可得：两整数根的和等于 a 为奇数,积等于 b 为偶数,
则两整数根必然一奇一偶,且都是 b 的因数；
依题意,b 的质因子只有 2 ,奇数因子只能是 1 ,
则奇数根只能是 1 ,代入方程可得：1-a+b = 0 ,
即有：1+2^n = 3^m ；
① 当 m = 1 、n = 1 时,
1+2^n = 3^m 成立,此时 a = 3 、b = 2 ；
② 当 m ≥ 2 、n ≥ 2 时,
2^n 被 4 整除,则 1+2^n 被 4 除余 1 ；
若 m 为奇数,则 3^m 被 4 除余 3 ；
若 m 为偶数,则 3^m 被 4 除余 1 ；
可得：要使 1+2^n = 3^m 成立,必须 m 为偶数；
【也可以简单写成：1+2^n = 3^m 两边 mod 4 ,可得：1 = (-1)^m ,则 m 必须是偶数】
令 m = 2k （k为正整数）,
则 1+2^n = 3^(2k) = (3^k)² ,
3^k 为奇数,可设 3^k = 2s+1 （s为正整数）,
则有：1+2^n = (2s+1)² = 4s(s+1)+1 ,
可得：2^n = 4s(s+1) ,
即有：2^(n-2) = s(s+1) ,
s 和 s+1 是连续正整数,必然一奇一偶,且都是 2^(n-2) 的因数；
2^(n-2) 的质因子只有 2 ,奇数因子只能是 1 ,则有：s = 1 ,
可得：k = 1 ,m = 2 ,n = 3 ,此时 a = 9 、b = 8 ；
综上,满足条件的a、b只有两对：a = 3 、b = 2 ；a = 9 、b = 8 .