已知函数f（x）定义域为{x|x≠0，x∈R}，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）且

解题思路：（1）根据抽象函数“凑”的原则，结合f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），分别令x1=x2=1，x1=-1，x2=1，即可得到答案；（2）根据f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）及（1）中的结论，令x1=-1，易判断出f（-x2）与f（x2）的关系，再根据函数奇偶性的定义，即可得到答案．（3）令x1＞1，结合已知中f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）且当x＞1时f（x）＞0，我们易根据函数单调性的定义得到结论．

（1）令x₁=x₂=1
∵f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
∴f（1）=2f（1）
∴f（1）=0（2分）
令x₁=-1，x₂=1
f（-1）=f（-1）+f（1）
∴f（-1）=0；（2分）
（2）证明：令x₁=-1
∵f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
∴f（x₁•x₂）=f（-x₂）=f（-1）+f（x₂）
又∵f（-1）=0
∴f（-x₂）=f（x₂）
故f（x）是偶函数；（3分）
（3）证明：令x₁＞1，当x₂∈（0，+∞）时，x₁•x₂＞x₂
∵当x＞1时f（x）＞0
∴f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）＞f（x₂）．
故f（x）在（0，+∞）上是增函数．（3分）

点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明；函数的值．

考点点评： 本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明及抽象函数值，其中熟练掌握函数性质的定义及判断方法是解答本题的关键．