（2011•虹口区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD是BC边上的高，点E、F分别是
（2011•虹口区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD是BC边上的高，点E、F分别是AB边和AC边上的动点，且∠EDF=90°．
（1）求DE：DF的值；
（2）连接EF，设点B与点E间的距离为x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）设直线DF与直线AB相交于点G，△EFG能否成为等腰三角形？若能，请直接写出线段BE的长；若不能，请说明理由．
（1）求DE：DF的值；
（2）连接EF，设点B与点E间的距离为x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）设直线DF与直线AB相交于点G，△EFG能否成为等腰三角形？若能，请直接写出线段BE的长；若不能，请说明理由．
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解题思路：（1）首先由勾股定理求出BC和CD，再利用三角形相似就可以求出结论．
（2）由条件把AE、AF用含x的式子表示出来，由勾股定理把EF表示出来，再根据（1）的结论把DE、DF用含EF的式子表示出来，根据直角三角形的面积公式就可以求出y的表达式．
（3）如图，根据线段的数量关系和勾股定理就可以求出BE的值．
（2）由条件把AE、AF用含x的式子表示出来，由勾股定理把EF表示出来，再根据（1）的结论把DE、DF用含EF的式子表示出来，根据直角三角形的面积公式就可以求出y的表达式．
（3）如图，根据线段的数量关系和勾股定理就可以求出BE的值．
（1）∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠DAC+∠C=90°
∴∠B=∠DAC，
∴∠BDE+∠EDA=∠ADF+∠EDA=90°
∴∠BDE=∠ADF，
∴△BED∽△AFD，
∴[DE/DF＝
BD
AD]，
∵[DB/AD]=cotB=[AB/AC]=[3/4]
∴DE：DF=[3/4]
（2）由△BED∽△AFD，得[BE/AF＝
BD
AD]=[3/4]，
∴AF=[4/3]BE，
∵BE=x，
∴AF=[4/3]x，AE=3-x，
∵∠BAC=90°，
∴EF2=（3-x）2+（[4/3]x）2=[25/9x2−6x+9，
∵DE：DF=3：4，∠EDF=90°，
∴ED=
3
5]EF，DF=[4/5]EF，
∴y=[1/2]ED•FD=[6/25]EF2，
∴y=[2/3]x2-[36/25]x+[54/25]（0≤x≤3）
（3）如图，得：
①在等腰△EFG中，EF=EG，
∴∠G=∠EFG，
∵∠EAF=∠EDF=90°
∴A、E、D、F四点共圆，
∴∠BAD=∠EFG
∴∠BAD=∠G，
∴AD=DG
又∵DF=DG
∴DF=AD，∠ADB=∠EDF，
∴△BAD≌△EFD
∴EF=AB
∴EF2=AB2
∴[25/9x2−6x+9=9
解得x=
54
25]，
∴BE=[54/25]；
②若EF=GF，
∵EF=FG，EA⊥AC
∴A为EG中点
∴AE=AD，
∵AB=3，AD=[12/5]，
∴BE=3-[12/5]=[3/5]．
∴△EFG能成为等腰三角形，BE的长为
点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；三角形的面积；等腰三角形的判定．
考点点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，等腰三角形的判定，勾股定理的运用．
1年前
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