如何严格证明只有空集和R^n既是开集又是闭集?其他都不可能.

首先要明确的是你所说的开集和闭集都是对欧式拓扑而言的.
这个可以用反证法证明,假设存在R^n中的子集A既是闭集又是开集,那么根据开集定义,对于任意点a属于A,都是A中的内点,即总是存在一个足够小的a的开邻域B（r,a）使得B包含于A；
如果r的取值是任意的,显然A=R^n.否则总是存在足够大的r使得B-A为非空,即B不包含于A.
那么满足B包含于A的r的值必有上确界R.
当d（a,b）=R时,
若b属于A,由于A是开集,因此b是A中的内点.
若b不属于A,由于A是闭集,那么A补是开集,b是A补中的内点.
设C={b:d（a,b）=R,b属于A}；D={b:d（a,b）=R,b不属于A}；显然C并D={b:d（a,b）=R}
显然d（C,D）=0,那么存在一个点对列（cn,dn）,使得当n趋于无穷时,d（cn,dn）=0
由于cn是有界点列,因此比有收敛子列,不妨设cn收敛到c,
同理dn也是有界点列,因此在cn收敛的情况下,dn也有收敛子列,因此不妨设cn收敛于c,同时dn收敛于d.由于d（cn,dn）=0当n趋于无穷时,因此c=d；
若c属于C,那么c属于A,由于不属于A是的点列dn收敛于c,（注意D是A补的子集）,因此c不是A中的内点,与A是开集矛盾；
同理当c属于D时,于A补是开集矛盾.
因此假设命题不成立,不存在既是开集有是闭集的集合；
PS：我不知道你的水平,如果你是数学系研究生的话,这个就好办了.由于R^n是连通空间,因此不存在连通分支,因此任何子集都不可能既是开集又是闭集.