证明只含有两个元素的群一定是同构!)

1.证明 设(X,#)和(Y,$)均是含有两个元素的群,不妨设X={e,x},Y={f,y},其中e,f分别是(X,#)和(Y,$)的幺元,再设映射F:X→Y,其中F(e)=f,F(x)=y,
由于(X,#)是群,x必有逆元,它的逆元只能是它本身x,同理y的逆元也只能是它本身y,于是x#x=e,y$y=f,于是
F(e#e)=F(e)=f=f$f=F(e)$F(e)
F(e#x)=F(x)=y=f$y=F(e)$F(x)
F(x#e)=F(x)=y=y$f=F(x)$F(e)
F(x#x)=F(e)=f=y$y=F(x)$F(x)
即对任意属于X的a,b,F(a#b)=F(a)$F(b),F又是一一的双射,故F是同构映射,即得(X,#)和(Y,$)同构,证毕.
2.证明 f: X->Y 是同构,故 f是双射,f^(-1)必存在并且是一一映射,对任意任意属于Y的a1,b1,必存在属于X的a,b,有f(a)=a1,f(b)=b1,f^-1(a1)=a,f^-1(b1)=b,由f是X到Y的同构映射,必有f(a#b)=f(a)$f(b)=a1$b1,故得
f^-1(a1$b1)=a#b=f^-1(a1)#f^-1(b1),于是f^(-1)是同构映射.证毕.