plmmpenpen1 春芽
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(1)当 a=b=
1
2时,h(x)=lnx−
1
4x2−
1
2x
则 h′(x)=
1
x−
1
2x−
1
2=−
x2+x−2
2x=−
(x+2)(x−1)
2x,
∵h(x)的定义域为(0,+∞),令h'(x)=0,得x=1
∴当0<x<1时,h'(x)>0,h(x)在(0,1)上是单调递增;
当x>1时,h'(x)<0,h(x)在(1,+∞)上是单调递减;
所以,函数h(x)=f(x)-g(x)的单调递增区间为(0,1);单调递减区间为(1,+∞).
(2)b=2时,h(x)=lnx−
1
2ax2−2x
则 h′(x)=
1
x−ax−2=−
ax2+2x−1
x
因为函数h(x)存在单调递减区间,
所以h′(x)<0有解.
即当x>0时,则ax2+2x-1>0在(0,+∞)上有解.
①当a=0时,y=2x-1为单调递增的一次函数,y=2x-1>0在(0,+∞)总有解.
②当a>0时,y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线,y=ax2+2x-1>0在(0,+∞)总有解.
③当a<0时,y=ax2+2x-1为开口向下的抛物线,而y=ax2+2x-1>0在(0,+∞)总有解,
则△=4+4a>0,且方程y=ax2+2x-1=0至少有一个正根,
此时,-1<a<0
综上所述,a的取值范围为(-1,+∞)
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;函数的单调性与导数的关系.
考点点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义,函数与方程的讨论等,属于难题.
1年前
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已知函数f(x)=lnx,g(x)=12ax2+bx(a≠0)
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已知函数f(x)=lnx,g(x)=12ax2+bx(a≠0)
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你能帮帮他们吗