请证明你的结论.经验算：当n=20000000时，前n项和等于1.999998327*10^7，依然不满足要求。

当然存在,用级数非常好证明.
式子相当于：是否存在n,满足
Σ(1-e^(-1/k))=Σg(k)>2011,k从1到n求和,其中设函数g(k)=1-e^(-1/k),容易看出g(k)递减,但是恒大于0.
因为g(k)=1-e^(-1/k)在k很大之后相当于1/k,大家都知道1/k级数求和是发散的,就是无穷大.所以这样的n一定存在,这个结论一定不会错.
一个初等数学证明的思路是：
假设 g(k)=1-e^(-1/k)>A/k,其中A是个常数.
则 g(2k)=1-e^(-1/(2k))=(1-e^(-1/k)))/(1+e^(-1/(2k)) (因为1+e^(-1/(2k)(1-e^(-1/k))/2
>(A/k)/2=A/(2k).
这样就可以数学归纳下去,即可得到g(4k)>A/(4k),g(8k)>A/(8k).
取随便一个数0A/2,g(4)>A/4,g(8)>A/8,g(16)>A/16,.
k从2到2,Σg(k)=Σg(2)=1×A/2=A/2
k从3到4,Σg(k)>Σg(4)=2×A/4=A/2
k从5到8,Σg(k)>Σg(8)=4×A/8=A/2
k从9到16,Σg(k)>Σg(16)=8×A/16=A/2
.
这样下去,求和一定是无穷大的,也就是说,求和超过2011一定没有问题.
你可以算一下,取A=(1-e^(-1/2))×2=0.7869,大概n=2^(5157)就是一定没问题了（我指级数求和超过2011,5157是这么得到的：5157~=2011/(0.7869/2)）.