如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是高，已知Rt△ABC的三边长都是整数且BD=113，求Rt△BCD与Rt

解题思路：根据题意易证△BCD∽△BAC，利用相似三角形的性质及勾股定理列式，解方程组即可解答．

设BC=a，CA=b，AB=c，
∵Rt△BCD∽Rt△BAC，
∴[BC/BA＝
BD
BC]，即BC²=BD•BA，
∴a²=11³c．
因a²为完全平方数，且11是质数，
∴c为11的倍数，令c=11k²（k为正整数），则a=11²k，
于是由勾股定理得b=
c2−a2=11k
k2−112，又因为b为整数，
∴k²-11²是完全平方数，令k²-11²=m²，则（k+m）（k-m）=11²，
∵（k+m）＞（k-m）＞0且11为质数，
∴

k+m＝112
k−m＝1 解得

k＝61
m＝60，于是a=11²×61，b=11×61×60，
又∵Rt△BCD∽Rt△CAD，
∴它们周长的比等于它们的相似比．
即[a/b]=
112×61
11×61×60=[11/60]．

点评：
本题考点： 勾股定理；二元一次方程的应用；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 解答此题是要根据题意列出方程，把解三角形转化成解方程的形式解答．

BC^2=BD×AB=11^3×AB 设AB=11×m^2 则AD=11×(m^2—11^2) AC^2=AD×AB=11^2×m^2×(m^2—11^2) 必有m^2—11^2=n^2 即(m+n)(m—n)=121 m+n=11,m—n=11或m+n=121,m—n=1,二者必居其一都得11的情况舍掉，解第二个方程组，m=61,n=60 再代回去，结果是11/60