一道关于绝对值不等式的问题函数f(x)的定义域为[0,1]且f(0)=f(1),当a,b∈[0,1],a≠b时,都有｜f

一道关于绝对值不等式的问题
函数f(x)的定义域为[0,1]且f(0)=f(1),当a,b∈[0,1],a≠b时,都有｜f(a)-f(b)｜< ｜a-b｜
求证：｜f(a)-f(b)｜< 1/2

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证明：
分类讨论
（1）|a-b|≤1/2
此时｜f(a)-f(b)｜< ｜a-b｜≤1/2
∴ ｜f(a)-f(b)｜< 1/2
（2）|a-b|>1/2,不妨设a>b,即a-b>1/2
∴ ｜f(a)-f(b)｜
=|f(a)-f(1)+f(0)-f(b)|
≤|f(a)-f(1)|+|f(0)-f(b)|

1年前

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