函数的极限定义解析
在高等数学同济六版教材中，函数极限的精确定义是微积分学的基石。其核心思想是：当自变量x无限趋近于某个值x0（或无穷大）时，函数值f(x)无限趋近于一个确定的常数A。对于“x→x0”的情形，严格定义为：设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论多小），总存在正数δ，使得当0 < |x - x0| < δ时，对应的函数值都满足|f(x) - A| < ε，则称A为函数f(x)当x→x0时的极限。
定义的理解要点
这个“ε-δ”定义包含三个关键要素：首先是任意性，ε可以任意小，强调f(x)与A可以无限接近；其次是存在性，δ的存在保证了当x充分靠近x0时，f(x)必定进入A的ε邻域；最后是去心邻域，强调考虑的是x趋近x0的过程，而非x等于x0那一点的情况。这种表述完美地将直观的“无限趋近”转化为严格的数学语言，为后续证明极限性质、连续性以及导数定义奠定了逻辑基础。
理解这个定义时，可以将其视为一个“挑战-回应”过程：你给出一个衡量接近程度的挑战（任意小的ε），我总能找到一个自变量范围（存在δ）来应战，保证在该范围内函数值与极限值的差距小于你的挑战值。对于x→∞的极限，定义思想类似，只需将条件改为：存在常数A，对任意ε>0，总存在正数X，使得当|x|>X时，有|f(x)-A|<ε。掌握这两种基本模式，就能准确把握函数极限的本质内涵。