设函数f（x）=x2+ax-lnx．

（Ⅰ）a=1时，f（x）=x²+x-lnx．x∈（0，+∞）
∴f′（x）=2x+1-[1/x]=
(2x−1)(x+1)
x．
令f′（x）=0，解得x=[1/2]，
当0＜x＜[1/2]，时，f′（x）＞0，当x＞[1/2]时f′（x）＜0，
∴f（x） 在x=[1/2]处取得极小值[3/4+ln2；
（Ⅱ）设切点为M（t，f（t）），f′（x）=2x+a-
1
x]；
切线的斜率k=2t+a-[1/t]，又切线过原点，
∴k=
f(t)
t
故
f(t)
t=2t+a-[1/t]，
即t²+at-lnt=2t²+at-1，
∴t²+lnt-1=0，
t=1满足方程t²+lnt-1=0，设h（t）=t²+lnt-1，
∴h′（t）=2t+[1/t]，
∴h′（t）=2t+[1/t]＞0．h（t）在（0．+∞）递增，且 h（1）=0，方程t²+lnt-1=0有唯一解t=1．切点的横坐标为1； 切点为（1，1+a），
∴k=a+1，
所以所求切线方程为y=（a+1）x；
（Ⅲ）g′（x）=
f′(x)−f(x)
ex，若函数g（x）在区间（0，1]上是减函数，
则∀x∈（0，1]，g′（x）≤0，
即f′（x）≤f（x），
所以x²-2x+[1/x]-lnx+a（x-1）≥0，
设F（x）=x²-2x+[1/x]-lnx+a（x-1），
∴F′（x）=2x-2-[1
x2-
1/x]+a=
(1−x)(2x2+2x+1)
x2-2+a，
若a≤2，则F′（x）≤0，F（x）在（0，1]递减，F（x）≥F（1）=0
即不等式f′（x）≤f（x），∀x∈（0，1]恒成立
若a＞2，设G（x）=2x-2-[1
x2-
1/x]，
∴G′（x）=2+[2
x

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题主要考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的极值和最值问题，考查学生的计算能力．

1年前

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