已知函数f（x）=aln（1+x）-x2，当∀p，q∈（0，1），且p-q＞0时，不等式f（p+1）-f（q+1）＞p-

∵p-q＞0时，不等式f（p+1）-f（q+1）＞p-q恒成立，即
f(p+1)−f(q+1)
p−q＞1恒成立，
又
f(p+1)−f(q+1)
p−q=
f(p+1)−f(q+1)
(p+1)−(q+1) 表示点（p+1，f（p+1）） 与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，
∵实数p，q在区间（0，1）内，∴p+1和q+1在区间（1，2）内．
∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率都大于1，
∴函数的导数大于1在（1，2）内恒成立．
由函数的定义域知，x＞-1，
∴f′（x）=[a/x+1−2x＞1 在（1，2）内恒成立．
即a＞2x²+3x+1在（1，2）内恒成立．
由于二次函数y=2x²+3x+1在[1，2]上是单调增函数，
故x=2时，y=2x²+3x+1 在[1，2]上取最大值为15，∴a≥15，
故答案为[15，+∞）．

点评：
本题考点： 函数恒成立问题；复合命题的真假．

考点点评： 本题考查斜率公式的应用，函数的恒成立问题，以及利用函数的单调性求函数的最值．

1年前

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