已知n∈N*，设函数fn（x）=1-x+x22-x33+…-x2n−12n−1，x∈R．

（1）g（x）=x²（1-x），
∴g′（x）=2x-3x²，
令g（x）=0，可得：x=0，x=[2/3]，
∴函数g（x）在[0，[2/3]]递增，在（[2/3]，2]递减，
又g（0）=0，g（[2/3]）=[4/27]，g（2）=-4，
∴g（x）_max=g（[2/3]）=[4/27，]
g（x）_min=g（2）=-4；
（2）∵y=f₂（x）-kx=1-x+
x2
2-
x3
3-kx，
∴y′=-1+x-x²-k=-（x²-x+k+1），
方程x²-x+k+1=0的判别式△=-3-4k，
当k≥-[3/4]时，△≤0，y′=-（x²-x+k+10≤0，
故函数y=f₂（x）-kx在R上单调递减，
当k＜-[3/4]时，方程x²-x+k+1=0的两个根为：
x₁=
1−
−3−4k
2，x₂=
1+
−3−4k
2，
则x∈（-∞，x₁）时，y′＜0，x∈（x₁，x₂）时，y′＞0，x∈（x₂，+∞）时，y′＜0，
故函数y=f₂（x）-kx（k∈R）的单调递减区间为（-∞，
1−
−3−4k
2）和（
1+

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考察了利用导数研究函数的单调性，函数的最值问题，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．