已知函数 f（x）=[1/3]x3+x2+ax-6（a∈R），若任意x∈[0，2]，f（x）＜0，求a的取值范围．

解题思路：当x=0时，∀a∈R，f（x）=-6＜0成立．当x∈（0，2]时，由 f（x）=[1/3]x³+x²+ax-6＜0恒成立⇔a＜(−

1

3

x2−x+

6

x

)min，x∈（0，2]．令g（x）=−

1

3

x2−x+

6

x

，
x∈（0，2]．再利用导数研究其单调性极值最值即可得出．

当x=0时，∀a∈R，f（x）=-6＜0成立．
当x∈（0，2]时，由 f（x）=[1/3]x³+x²+ax-6＜0恒成立⇔a＜(−
1
3x2−x+
6
x)min，x∈（0，2]．
令g（x）=−
1
3x2−x+
6
x，x∈（0，2]．
g′(x)＝−
2
3x−1−
6
x2＜0，
因此函数g（x）在x∈（0，2]单调递减，∴当x=2时，函数g（x）取得最小值，g（2）=−
1
3．
∴a＜−
1
3．
综上可得：a的取值范围是(−∞，−
1
3)．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查了利用导数研究其单调性极值最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．