若函数f（x）=[1−x/ax+ℓnx在[1，+∞）上为增函数．

（Ⅰ）由已知：f'（x）=[ax−1
ax2(a＞0)
依题意得：
ax−1
ax2≥0对x∈[1，+∞）恒成立
∴ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立
∴a-1≥0即：a≥1
（Ⅱ）∵a=1
∴f（x）=
1−x/x+lnx，
∵f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴n≥2时：f（
n
n−1]）=
1−
n
n−1

n
n−1+ln
n
n−1＝ln
n
n−1−
1
n＞f(1)＝0
即：[1/n＜ln
n
n−1]
∴[1/2+
1
3+
1
4+…+
1
n＜ln
2
1+ln
3
2+…+ln
n
n−1＝lnn
设g（x）=lnx-xx∈[1，+∞），
则g′(x)＝
1
x−1≤0对x∈[1，+∞）恒成立，
∴g（x）在[1+∞）为减函数，∵
n
n−1]＞1
∴n≥2时：g（[n/n−1]）=ln[n/n−1]-[n/n−1]＜g（1）=-1＜0
即：ln[n/n−1]＜[n/n−1]=1+[1/n−1]（n≥2）
∴lnn=ln
2
1+ln
3
2+ln
4
3+…+ln
n
n−1＜(1+
1
n−1)+(1+
1
n−2)+…+(1+
1
1)＝n+
1
2+

点评：
本题考点： 函数的单调性与导数的关系；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，以及借助函数的单调性证明不等式成立，属于导数的应用．

1年前

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