已知函数f（x）是在（0，+∞）上每一点均可导的函数，若xf/（x）＞f（x）在x＞0时恒成立．

（1）由g(x)＝
f(x)
x得g/(x)＝
xf/(x)−f(x)
x2，因为xf^/（x）＞f（x），
所以g^/（x）＞0在x＞0时恒成立，所以函数g(x)＝
f(x)
x在（0，+∞）上是增函数．
（2）由（1）知函数g(x)＝
f(x)
x在（0，+∞）上是增函数，所以当x₁＞0，x₂＞0时，
有
f(x1+x2)
x1+x2＞
f(x1)
x1，
f(x1+x2)
x1+x2＞
f(x2)
x2成立，（5分）
从而f(x1)＜
x1
x1+x2f(x1+x2)，f(x2)＜
x2
x1+x2f(x1+x2)，
两式相加得f（x₁+x₂）＞f（x₁）+f（x₂）．
（3）推广到一般情况为：
若x_i＞0（i=1，2，3n），则f（x₁+x₂+…+x_n）＞f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n），n∈N，n≥2．
以下用数学归纳法证明
（1）当n=2时，有（2）已证成立，
（2）假设当n=k（k≥2）时成立，即f（x₁+x₂+…+x_k）＞f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k）
那么当n=k+1时，f（x₁+x₂+…+x_k+x_k+1）＞f（x₁+x₂+…+x_k）+f（x_k+1）＞f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k）+f（x_k+1）
成立，即当n=k+1时也成立．
有（1）（2）可知不等式对一切n∈N，n≥2时都成立．（12分）