frankliangshao
幼苗
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(1) 特征多项式为x^n,再用Cayley-Hamilton定理.
(2) Tr的两个性质:Tr(A-B)=Tr(A)-Tr(B);Tr(AB)=Tr(BA).所以
Tr(X^k(AX-XA))
=Tr((X^k*A)*X)-Tr(X^k*X*A)
=Tr(X*(X^k*A))-Tr(X^k*X*A)
=Tr(X^(k+1)*A)-Tr(X^(k+1)*A)
=0.
(3) 设X满足AX-XA=X^p,X的全部特征值为a1,...,an.由(1),只需证明a1=...=an=0.特征值的两个性质:X^t的全部特征值为a1^t,...,an^t;Tr等于全部特征值的和.所以由(2),对任意非负整数k,有
0=Tr(X^k(AX-XA))
=Tr(X^k*X^p)
=Tr(X^(k+p))
=a1^(k+p)+...+an^(k+p).
换而言之,对任意整数t>=p有a1^t+...+an^t=0.所以a1=...=an=0.
1年前
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