线数题怎么证明设η1 ,η2,η3,η4 ……ηS 是非齐次线性方程组AX=b的S个解,证明x=k1η1 +k2η2 +
线数题怎么证明
设η1 ,η2,η3,η4 ……ηS 是非齐次线性方程组AX=b的S个解,证明x=k1η1 +k2η2 +……+ksηs 是AX=b的解的充要条件是K1+K2+K3……+KS=1
设η1 ,η2,η3,η4 ……ηS 是非齐次线性方程组AX=b的S个解,证明x=k1η1 +k2η2 +……+ksηs 是AX=b的解的充要条件是K1+K2+K3……+KS=1
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Aη1=b,Aη2=b,Aη3=b,...AηS=b
k1Aη1=k1b,k2Aη2=k2b,k3Aη3=k3b,...,kSAηS=kSb
将这S个式子相加,得
A(k1η1+k2η2+k3η3+...+kSηS)=(k1+k2+k3+...+kS)b①
充分性：当k1+k2+k3+...+kS=1时,显然k1η1+k2η2+k3η3+...+kSηS是①式的解,即Ax=b的解
必要性：当k1η1+k2η2+k3η3+...+kSηS是①式的解时,因为η1,η2,η3,...,ηS线性无关,因此k1η1+k2η2+k3η3+...+kSηS不为零.所以k1+k2+k3+...+kS=1
k1Aη1=k1b,k2Aη2=k2b,k3Aη3=k3b,...,kSAηS=kSb
将这S个式子相加,得
A(k1η1+k2η2+k3η3+...+kSηS)=(k1+k2+k3+...+kS)b①
充分性：当k1+k2+k3+...+kS=1时,显然k1η1+k2η2+k3η3+...+kSηS是①式的解,即Ax=b的解
必要性：当k1η1+k2η2+k3η3+...+kSηS是①式的解时,因为η1,η2,η3,...,ηS线性无关,因此k1η1+k2η2+k3η3+...+kSηS不为零.所以k1+k2+k3+...+kS=1
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