设函数f（x）在[a，b]上连续，且在（a，b）内有f′（x）＞0，证明：在（a，b）内存在唯一的一点ξ，使得（ξ-a）

证明：设F（x）=（x-a）f（x）-
∫xaf(t)dt-3
∫bxf(t)dt+3（b-x）f（x），
则F（x）在[a，b]上连续，且在（a，b）内可导．
因为f′（x）＞0，故 f（a）＜f（x）＜f（b）（a＜x＜b），从而，
F（a）=-3
∫baf(t)dt+3（b-a）f（a）＜0，
F（b）=（b-a）f（b）-
∫baf(t)dt＞0．
利用连续函数的零点存在定理可得，∃ξ∈（a，b），使得F（ξ）=0，
即：（ξ-a）f（ξ）-
∫ξaf（x）dx=3
∫bξf（x）dx-3（b-ξ）f（ξ）．
又因为∀x∈（a，b），
F′（x）=（x-a）f′（x）+f（x）-f（x）+3f（x）+3（b-x）f′（x）-3f（x）
=（3b-a-2x）f′（x）
＞（b-a）f′（x）＞0，
故ξ是唯一存在的．

点评：
本题考点： 零点定理及其推论的运用；用罗尔定理判断导函数根的存在问题．

考点点评： 本题考查了利用连续函数的零点存在定理证明方程根的存在性问题以及利用函数的符号证明函数单调性的方法；题目具有一定的综合性，难度适中．如果要证明的等式中不含有导数时，我们通常构造适当的辅助函数，利用连续函数的零点存在定理进行证明．