对于每个正整数n，抛物线y=（n2+n）x2-（2n+1）x+1与x轴交于两点An、Bn，则|A1B1|+|A2B2|+

解题思路：A_n、B_n，是抛物线y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1与x轴的交点，所以其横坐标为（n²+n）x²-（2n+1）x+1=0的根，由根与系数的关系可得，xAn+xBn=

2n+1

n2+n

，xAnxBn=

1

n2+n

因为|A_nB_n|=|xAn-xBn|，将其用两根之和与两根之积表示出来，化简即可得出线段|A_nB_n|的表达式．

由已知A_n、B_n的横坐标为（n²+n）x²-（2n+1）x+1=0的根，
由根与系数的关系可得，xAn+xBn=[2n+1
n2+n，xAnxBn=
1
n2+n①
因为|A_nB_n|=|xAn-xBn|=
(xAn+xBn)2−4xAnxBn②
将①中的数据代入②整理得|A_nB_n|=
1/n]-[1/n+1]
故|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₀B₂₀₁₀|=1-[1/2]+[1/2]-[1/3]+…+[1/2010]-[1/2011]=[2010/2011]
故应填[2010/2011]．

点评：
本题考点： 数列的求和．

考点点评： 本题主要考查零点与方程根的对应关系及化简计算的能力，变形的技巧，可以之训练答题者观察探究的能力与意识．