设B是实可逆反对称矩阵,证明B^2+B^(-1)可逆,且A=（B^2-B^(-1)）*（B^2+B^(-1)）^(-1)

设B是实可逆反对称矩阵,证明B^2+B^(-1)可逆,且A=（B^2-B^(-1)）*（B^2+B^(-1)）^(-1)是正交矩阵.
师大女生 1年前 已收到1个回答 举报
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djmpx 幼苗

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用谱分解定理是比较显然的,B可以酉对角化且特征值一定在虚轴上,所以B^2+B^(-1)的特征值具有非零的实部,而A的特征值模一定是1.
初等一点的做法也有,X=B^2+B^(-1),那么X'=B^2-B^(-1),X+X'=2B^2=-2BB'是负定矩阵,因而X可逆.至于A=X'*X^{-1},直接验证A'A=I即可,注意这里所有的乘法都可交换.

1年前

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