从1～30这30个自然数中，每次取两个不同的数，使它们的和是4的倍数，共有多少种不同的取法？

解题思路：首先把这30个数按被4除的余数分类：被4整除、被4除余1、被4除余2、被4除余3；再进一步分析探讨每一组的数的余数和是否为4的倍数讨论；得出结论．

（1）首先把这30个数分类：1、被4整除：4，8，12…28 （7个）；2、被4除余1：1，5，9，13…29（8个）；3、被4除余2：2，6，10，14…30（8个）；4、被4除余3：3，7，11，15…27（7个）；
（2）进一步分析探讨：
第1组的数，必须和第1组的数，才能使和为4的倍数6+5+4+3+2+1=21（种）；
第2组的数，必须和第4组的数，才能使和为4的倍数7×8=56（种）；
第3组的数，必须和第3组的数，才能使和为4个倍数7+6+5+4+3+2+1=28（种）；
第4组的数，刚才已经讨论过了，不必再讨论；
所以一共有21+56+28=105（种）．
故答案为：105．

点评：
本题考点： 数的整除特征．

考点点评： 此题主要利用有余数的除法特征以及分步探讨的方法解决问题．

105种。。。。。。

从自然数1~30中，最多取出多少个数，才能使取出的这些数里任意两个数之和都不是7的倍数？
这30个自然数按除以7的余数可以分为7类：
①余0：7，14，21，28
②余1：1，8，15，22，29
③余2：2，9，16，23，30
④余3：3，10，17，24
⑤余4：4，11，18，25
⑥余5：5，12，19，26
⑦余6：6，1...