已知函数f（x）=lnx，g（x）=x．

（1）证明：令h(x)＝f(x)−2g(
x−1
x+1)＝lnx−
2x−2
x+1，x＞1
h′(x)＝
1
x−
4
(x+1)2＝
(x−1)2
x(x+1)2＞0在（1，+∞）上恒成立，
∴h（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴h（x）＞h（1）=0，
∴f（x）＞2g（
x−1
x+1]）．
（2）设F（x）=[1/2]g（x²）-f（1+x²）=[1/2]x²-ln（1+x²），x∈R，
则F′（x）=
x(x+1)(x−1)
1+x2，
令F′（x）=0解得，x=0或x=±1，
又∵F（x）在（-∞，-1）和（0，1）上递减，在（-1，0）和（1，+∞）上递增；
且F（-1）=F（1）=[1/2]-ln2＜0，F（0）=0；
∴k的取值范围是（[1/2]-ln2，0）．

点评：
本题考点： 根的存在性及根的个数判断；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查了导数的综合应用，同时考查了不等式的证明方法，属于中档题．