三角恒等式的巧妙应用
题目“tan10°tan20°tan30°tan70°tan80°等于多少”看似复杂，实则是一个巧妙利用三角恒等式的典型问题。观察这些角度，我们可以发现10°与80°、20°与70°互为余角。在三角函数中，一个重要的性质是：若两个角α和β互余（即α+β=90°），则tanα与tanβ互为倒数，即tanα·tanβ=1。这是因为tan(90°-α)=cotα=1/tanα。因此，我们可以立即得出：tan10°·tan80°=1，以及tan20°·tan70°=1。
分步计算与最终结果
基于上述分析，我们可以将原式重新分组为：(tan10°·tan80°) × (tan20°·tan70°) × tan30°。由于前两组乘积都等于1，因此整个表达式的值就简化为1 × 1 × tan30°。而tan30°是一个基本三角函数值，等于√3/3。所以，tan10°tan20°tan30°tan70°tan80°的最终结果就是√3/3。
这个计算过程清晰地展示了数学的简洁与和谐。它不需要复杂的数值计算或查表，关键在于识别角度之间的互余关系，并灵活运用基本的三角恒等式。此类问题不仅锻炼了我们对三角函数性质的掌握，也体现了数学中“化繁为简”的核心思想。通过一个简单的恒等变换，一个看似需要计算五个正切值乘积的难题，瞬间迎刃而解。