若函数y=f（x）对定义域D的每一个x1，都存在唯一的x2∈D，使f（x1）f（x2）=1成立，则称f（x）为“自倒函数
若函数y=f（x）对定义域D的每一个x1，都存在唯一的x2∈D，使f（x1）f（x2）=1成立，则称f（x）为“自倒函数”，下列命题正确的是______．（把你认为正确命题的序号都填上）
（1）f（x）=sinx+
（x∈[-[π/2]，[π/2]]）是自倒函数；
（2）自倒函数f（x）的值域可以是R
（3）自倒函数f（x）可以是奇函数
（4）若y=f（x），y=g（x）都是自倒函数，且定义域相同，则y=f（x）g（x）是自倒函数．
（1）f（x）=sinx+
| 2 |
（2）自倒函数f（x）的值域可以是R
（3）自倒函数f（x）可以是奇函数
（4）若y=f（x），y=g（x）都是自倒函数，且定义域相同，则y=f（x）g（x）是自倒函数．
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解题思路：（1）中，由f（x1）f（x2）=1，知f（x2）=
，可以求出x2是满足条件的；
（2）中，令f（x1）=0，可以判定f（x1）f（x2）=1不成立；
（3）中，当f（x）是奇函数时，不妨设f（x）=[1/x]，其中x∈（-∞，0）∪（0，+∞），验证满足条件；
（4）中，令f（x）=g（x）=[1/x]，x∈（-∞，0）∪（0，+∞），是定义域上的自倒函数，但f（x）g（x）=
不是自倒函数，验证可得；
| 1 |
| f(x1) |
（2）中，令f（x1）=0，可以判定f（x1）f（x2）=1不成立；
（3）中，当f（x）是奇函数时，不妨设f（x）=[1/x]，其中x∈（-∞，0）∪（0，+∞），验证满足条件；
（4）中，令f（x）=g（x）=[1/x]，x∈（-∞，0）∪（0，+∞），是定义域上的自倒函数，但f（x）g（x）=
| 1 |
| x2 |
在（1）中，∵f（x）=sinx+
2（x∈[-[π/2]，[π/2]]），
∴任取x1∈[-[π/2]，[π/2]]，有sinx1∈[-1，1]，
∴f（x1）=sinx1+
2，且f（x1）∈[
2-1，
2+1]；
由f（x1）f（x2）=1，得f（x2）=
1
f(x1)=
1
sinx1+
2，即sinx2+
2=
1
sinx1+
点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用．
考点点评： 本题考查了新概念下的函数的性质与运算，解决此类问题时，要深刻把握新概念函数的内涵与外延，从而正确解答问题．
1年前
4
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