如图平行四边形OABC，A点坐标为（2，0）抛物线y=ax2+bx+4经过点A、B、C三点，交y轴于D．

解题思路：（1）根据抛物线的解析式，可得到点B的坐标，由于平行四边形的对边相等，即OA=BC=2，由此可求得抛物线的对称轴方程，进而可求得D点坐标，然后将点D的坐标代入抛物线的解析式中，联立抛物线的对称轴方程即可确定该二次函数的解析式．
（2）由抛物线的解析式可求得OB=OD=4，若△OBP≌△ODP，那么必有∠BOP=∠DOP，即P点为二、四象限的角平分线与抛物线的交点，可据此求得点P的坐标．
（3）由MN∥x轴，可得到OE：OB=MN：BM，由AM∥BE，可得到OE：OB=OA：OM，等量代换后可求得MN：BM=OA：OM，可设出点N的坐标，即可表示出MN、OM的长，根据上面的比例式，可得到N点横、纵坐标的关系式，联立抛物线的解析式，即可求出N点的横坐标，而MN的长为N点横坐标的绝对值，由此得解．

（1）由平行四边形ABCO得：BC=AO=2，
∴对称轴x=-[b/2a]=-1，b=2a，D（-4，0），
∵y=ax²+2ax+4过点D（-4，0），
∴0=16a-8a+4，a=-[1/2]；
故抛物线的解析式为：y=-[1/2]x²-x+4．

（2）∵△OBP≌△ODP，且OB=OD=4，
∴∠BOP=∠DOP，
即∠BOP=45°或135°，
故P在第二或第四象限的角平分线上，
即P的横坐标与纵坐标互为相反数，（5分）
则有：x+y=0；
又y=-[1/2]x²-x+4，x+y=-[1/2]x²+4=0，
解得：x₁=2
2，x₂=-2
2；y₁=-2
2，y₂=2
2；
故P（2
2，-2
2）或（-2
2，2
2）．（7分）

（3）设N（x，y），则OM=-y，MN=-x；
∵MN∥x轴，AM∥BN，
∴[OE/MN]=[OB/MB]①，[OE/OA]=[BO/OM]②；（9分）
由①②得[MN/BM]=[OA/OM]，[−x/4−y]=[2/−y]，y=[8/x+2]；（10分）
又y=-[1/2]x²-x+4[8/x+2]=-[1/2]x²-x+4，
化简得x²+4x-4=0，
解得x₁=2
2-2，x₂=-2
2-2；
MN=-x=2
2+2．（12分）

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题考查了二次函数解析式的性质及解析式的确定、全等三角形的性质、函数图象交点坐标的求法、平行线分线段成比例定理等重要知识点，综合性强，难度较大．