如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是平行四边形,A、B两点的坐标分别是A(3,0),B(0,2).若抛物线y=ax

如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是平行四边形,A、B两点的坐标分别是A(3,0),B(0,2).若抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C,且与x轴的另一个交点为点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P是第二象限内抛物线上一点,直线OP将四边形OBCD的面积分成1:2两部分.求出此时点P的坐标;
(3)设点Q是抛物线对称轴上的一个动点,当点Q的坐标为何值时QD+QC最小?并求出最小值.
jl06 1年前 已收到1个回答 举报

yl888 幼苗

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解题思路:(1)先由平行四边形的性质得出BC=OA=3,BC∥OA,再由B(0,2),得出C(-3,2),然后把A、B、C三点的坐标代入y=ax2+bx+c,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式;
(2)先画出图形,计算得出S△OCD=6,S四边形OBCD=9,因此直线OP必经过线段CD.设直线OP与线段CD的交点为E,根据题干可知:△ODE与四边形OBCD的面积比应该是1:2或2:1,即△ODE的面积是四边形OBCD面积的[1/3]或[2/3].①当S△ODE=[1/3]×9=3时,首先求出直线OE(即直线OP)的解析式,联立抛物线的解析式后即可确定点P的坐标;②当S△ODE=[2/3]×9=6时,P与C重合;
(3)连结BD交抛物线的对称轴于点Q,则QD+QC=QD+QB=BD最小,在直角△OBD中运用勾股定理求出BD=2
10
.运用待定系数法求出直线BD的解析式为y=[1/3]x+2,将x=-[3/2]代入,求出y的值,即可得到点Q的坐标.

(1)∵四边形OABC是平行四边形,A(3,0),
∴BC=OA=3,BC∥OA.
∵B(0,2),
∴C(-3,2).
把A、B、C三点的坐标代入y=ax2+bx+c,


9a+3b+c=0
c=2
9a−3b+c=2,解得

a=−
1
9
b=−
1
3
c=2,
∴抛物线的解析式为y=-[1/9]x2-[1/3]x+2;

(2)∵y=-[1/9]x2-[1/3]x+2,
∴当y=0时,-[1/9]x2-[1/3]x+2=0,
解得x1=3,x2=-6,
∴D点坐标为(-6,0).
∵S△OCD=[1/2]×6×2=6,S四边形OBCD=S△OBC+S△OCD=[1/2]×3×2+6=3+6=9,
∴当直线OP将四边形OBCD的面积分成1:2两部分时,设直线OP与直线CD交于点E,则△ODE的面积可以为3或6.
①当S△ODE=[1/3]×9=3时,
∵S△ODP=[1/2]S△OCD
∴E为CD的中点,
∵C(-3,2),D(-6,0),
∴E点坐标为(-4.5,1).
设直线OE的解析式为y=kx,则-4.5x=1,
解得k=-[2/9],
∴y=-[2/9]x.
设点P的坐标为(x,-[1/9]x2-[1/3]x+2),
则-[1/9]x2-[1/3]x+2=-[2/9]x,
解得:x1=
−1−
73
2,x2=
−1+
73
2(舍去),
∴P1
−1−
73
2,
1+
73
9);
②当S△ODE=[2/3]×9=6时,P与C重合.
∴P2点坐标为(-3,2).
综上所述,满足条件的点P的坐标为P1
−1−
73
2,
1+
73
9),P2(-3,2);

(3)如图,连结BD交抛物线的对称轴于点Q,则QD+QC=QD+QB=BD最小,BD=
OB2+OD2=
22+62=2
10.
设直线BD的解析式为y=mx+n,
∵B(0,2),D(-6,0),


b=2
−6k+b=0,解得

k=
1
3
b=2,
∴y=[1/3]x+2.
∵抛物线y=-[1/9]x2-[1/3]x+2的对称轴为x=-[3/2],
∴当x=-[3/2]时,y=[1/3]×(-[3/2])+2=[3/2],
∴点Q的坐标为(-[3/2],[3/2])时QD+QC最小,此时最小值为2
10.

点评:
本题考点: 二次函数综合题.

考点点评: 本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有平行四边形的性质,运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式,二次函数的性质,图形面积的求法,勾股定理,轴对称的性质等知识,综合性较强,难度适中.运用数形结合、分类讨论、方程思想是解题的关键.

1年前

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