如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，A、B两点的坐标分别是A（3，0），B（0，2）．若抛物线y=ax

解题思路：（1）先由平行四边形的性质得出BC=OA=3，BC∥OA，再由B（0，2），得出C（-3，2），然后把A、B、C三点的坐标代入y=ax²+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先画出图形，计算得出S_△OCD=6，S_{四边形OBCD}=9，因此直线OP必经过线段CD．设直线OP与线段CD的交点为E，根据题干可知：△ODE与四边形OBCD的面积比应该是1：2或2：1，即△ODE的面积是四边形OBCD面积的[1/3]或[2/3]．①当S_△ODE=[1/3]×9=3时，首先求出直线OE（即直线OP）的解析式，联立抛物线的解析式后即可确定点P的坐标；②当S_△ODE=[2/3]×9=6时，P与C重合；
（3）连结BD交抛物线的对称轴于点Q，则QD+QC=QD+QB=BD最小，在直角△OBD中运用勾股定理求出BD=2

10

．运用待定系数法求出直线BD的解析式为y=[1/3]x+2，将x=-[3/2]代入，求出y的值，即可得到点Q的坐标．

（1）∵四边形OABC是平行四边形，A（3，0），
∴BC=OA=3，BC∥OA．
∵B（0，2），
∴C（-3，2）．
把A、B、C三点的坐标代入y=ax²+bx+c，
得

9a+3b+c＝0
c＝2
9a−3b+c＝2，解得

a＝−
1
9
b＝−
1
3
c＝2，
∴抛物线的解析式为y=-[1/9]x²-[1/3]x+2；

（2）∵y=-[1/9]x²-[1/3]x+2，
∴当y=0时，-[1/9]x²-[1/3]x+2=0，
解得x₁=3，x₂=-6，
∴D点坐标为（-6，0）．
∵S_△OCD=[1/2]×6×2=6，S_{四边形OBCD}=S_△OBC+S_△OCD=[1/2]×3×2+6=3+6=9，
∴当直线OP将四边形OBCD的面积分成1：2两部分时，设直线OP与直线CD交于点E，则△ODE的面积可以为3或6．
①当S_△ODE=[1/3]×9=3时，
∵S_△ODP=[1/2]S_△OCD，
∴E为CD的中点，
∵C（-3，2），D（-6，0），
∴E点坐标为（-4.5，1）．
设直线OE的解析式为y=kx，则-4.5x=1，
解得k=-[2/9]，
∴y=-[2/9]x．
设点P的坐标为（x，-[1/9]x²-[1/3]x+2），
则-[1/9]x²-[1/3]x+2=-[2/9]x，
解得：x₁=
−1−
73
2，x₂=
−1+
73
2（舍去），
∴P₁（
−1−
73
2，
1+
73
9）；
②当S_△ODE=[2/3]×9=6时，P与C重合．
∴P₂点坐标为（-3，2）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为P₁（
−1−
73
2，
1+
73
9），P₂（-3，2）；

（3）如图，连结BD交抛物线的对称轴于点Q，则QD+QC=QD+QB=BD最小，BD=
OB2+OD2=
22+62=2
10．
设直线BD的解析式为y=mx+n，
∵B（0，2），D（-6，0），
∴

b＝2
−6k+b＝0，解得

k＝
1
3
b＝2，
∴y=[1/3]x+2．
∵抛物线y=-[1/9]x²-[1/3]x+2的对称轴为x=-[3/2]，
∴当x=-[3/2]时，y=[1/3]×（-[3/2]）+2=[3/2]，
∴点Q的坐标为（-[3/2]，[3/2]）时QD+QC最小，此时最小值为2
10．

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有平行四边形的性质，运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质，图形面积的求法，勾股定理，轴对称的性质等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论、方程思想是解题的关键．