如图,将一边长为2a的立方体匀质木块放在一半径为R的水平放置的圆柱体的顶部,欲使平衡为稳定平衡,试求R与a的关系.（假定
如图,将一边长为2a的立方体匀质木块放在一半径为R的水平放置的圆柱体的顶部,欲使平衡为稳定平衡,试求R与a的关系.（假定摩擦足以阻止立方体在柱面上滑动）
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赞 cheng9801 幼苗
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由于滚动摩擦相对滑动摩擦来说,几乎为零,所以当这个平衡不稳定的时候,就是木块和圆柱之间‘滚动’的情形.所谓滚动,就是木块和圆柱之间相对运动之后,接触点之间的路程相等,就是说,如果发生一个小运动,木块向左或者向右偏了一个小的角度θ之后,新接触点在木块上相对旧接触点的直线距离,等于新接触点在圆柱上相对原接触点的弧长.
如果发生了这个小运动之后,木块的重心降低了,那这个平衡就不稳定,如果升高了,就稳定.
剩下的就是几何问题了.
好好地画一下图,记得新接触点离底边中点的距离是弧长rθ,就可以看出新的重心高度是(rθ)sinθ+(r+a)cosθ.接下来的步骤,以我的能力,不得不用导数了.如果高中生没有学过导数,极限也可以,如果极限也没有学过,我不知道该怎么做了.其实可以做出来,不过本质上是用了极限的思想.
导数法：
把重心高度对θ求导,如果这个导数当θ>0时=0)>0,即：r>=a.
极限法：
如果你学过极限,θ趋向于零的时候,sinθ=θ,cosθ=1-θ^2/2,即使没有学过,也应该知道前一个,这是单摆里用到的,后一个现在告诉你,就这么用吧,反正不会错.稳定的时候,要让重心高度>=原重心高度(a+r),即:
rθsinθ+(r+a)cosθ>=a+r
rθ^2+(r+a)(1-θ^2/2)>=a+r
得到 r>=a
这个没有微积分基础或许能做出来,但是前提是你自己想通了微积分的一些东西,换句话说,我不认为可以不用任何微积分方法做出来.
如果发生了这个小运动之后,木块的重心降低了,那这个平衡就不稳定,如果升高了,就稳定.
剩下的就是几何问题了.
好好地画一下图,记得新接触点离底边中点的距离是弧长rθ,就可以看出新的重心高度是(rθ)sinθ+(r+a)cosθ.接下来的步骤,以我的能力,不得不用导数了.如果高中生没有学过导数,极限也可以,如果极限也没有学过,我不知道该怎么做了.其实可以做出来,不过本质上是用了极限的思想.
导数法：
把重心高度对θ求导,如果这个导数当θ>0时=0)>0,即：r>=a.
极限法：
如果你学过极限,θ趋向于零的时候,sinθ=θ,cosθ=1-θ^2/2,即使没有学过,也应该知道前一个,这是单摆里用到的,后一个现在告诉你,就这么用吧,反正不会错.稳定的时候,要让重心高度>=原重心高度(a+r),即:
rθsinθ+(r+a)cosθ>=a+r
rθ^2+(r+a)(1-θ^2/2)>=a+r
得到 r>=a
这个没有微积分基础或许能做出来,但是前提是你自己想通了微积分的一些东西,换句话说,我不认为可以不用任何微积分方法做出来.
1年前
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