（2014•蚌埠一模）工业上用菱锌矿（ZnCO3，含少量Fe2O3、SiO2及不溶于酸的杂质）为原料制取硫酸锌，其工艺流

（2014•蚌埠一模）工业上用菱锌矿（ZnCO₃，含少量Fe₂O₃、SiO₂及不溶于酸的杂质）为原料制取硫酸锌，其工艺流程如图所示：

已知金属离子在溶液中开始沉淀和沉淀完全时的pH：

	开始沉淀时的pH	沉淀完全时的pH
Fe²⁺	7.6	9.7
Fe³⁺	2.7	3.2
Zn²⁺	6.2	9.7

（1）操作a的名称是______．

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loveview 幼苗

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解题思路：（1）由题意知：a_n=2a_n-1+1，a₁=1，从而易得a_n+1=2（a_n-1+1），利用等比数列的通项公式可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由题意，a₁=1，b₁=1，S₁=0，当2≤n≤2014时，S_n=S_n-1+

an−1

，b_n=a_n•S_n，而S_n=S₁+

+…+

an−1

，从而可得

+…+

an−1

，

bn+1

an+1

+…+

an−1

，于是易求

bn+1

an+1

1+bn

（n∈N^*，n≤2014）的值；
（3）由（2）知，知

1+bn

bn+1

an+1

，b₁=a₁=1，b₂=3，a₂=3，于是易求

(1+b1)(1+b2)…(1+bn)

b1•b2…bn

=2（

+…+

an−1

），将所证的关系式转化为证明

+…+

an−1

＜

5/3]即可，即证1+[1/3]+[1/7]+…+[1

2n−1

＜

5/3]，利用放缩法可证得结论．

（1）由题意知：a_n=2a_n-1+1，a₁=1，
∴a_n+1=2（a_n-1+1），
∴a_n+1=（a₁+1）•2^n-1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1（n∈N^*，n≤2014）．
（2）由题意，a₁=1，b₁=1，S₁=0，
当2≤n≤2014时，S_n=S_n-1+[1
an−1，b_n=a_n•S_n，
此时，S_n=S₁+
1
a1+
1
a2+…+
1
an−1，
∴b_n=a_n（
1
a1+
1
a2+…+
1
an−1），
∴
bn
an=
1
a1+
1
a2+…+
1
an−1，
∴
bn+1
an+1=
1
a1+
1
a2+…+
1
an−1+
1
an，
∴
bn+1
an+1-
bn
an=

点评：
本题考点：数列递推式；数列的求和；程序框图．

考点点评：本题考查数列的求和，着重考查数列的递推式的应用，考查程序框图的理解与应用，突出等价转化思想与抽象思维能力的考查，属于难题．

1年前

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