已知函数f（x）=[a+lnx/x]，且f（x）+g（x）=(x+1)lnxx，

解题思路：（1）函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数⇔f′(x)＝

1−(a+lnx)

x

≤0在区间[1，+∞）上恒成立⇔a≥1-lnx在区间[1，+∞）上恒成立，⇔a≥[1-lnx]_max，在区间[1，+∞）上．利用其单调性解出即可．
（2）g（x）=

(x+1)lnx

x

−

a+lnx

x

=lnx-[a/x]．（x＞0）．可得g′(x)＝

1

x

+

a

x2

＝

x+a

x2

．对a分类讨论：①当a≥0时，②当a＜0时，当-a＜1时；当-a＞e时，即a＜-e；当1≤-a≤e时，利用其单调性求出即可．

（1）∵函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数，∴f′(x)＝
1−(a+lnx)
x≤0在区间[1，+∞）上恒成立，
∴a≥1-lnx在区间[1，+∞）上恒成立，
等价于a≥[1-lnx]_max，在区间[1，+∞）上．
∵1-lnx在区间[1，+∞）上单调递减，
∴[1-lnx]_max=1-ln1=1，∴a≥1．
即实数a的取值范围为[1，+∞）；
（2）g（x）=
(x+1)lnx
x−
a+lnx
x=lnx-[a/x]．（x＞0）．
g′(x)＝
1
x+
a
x2＝
x+a
x2．
①当a≥0时，g（x）在（0，+∞）上单调递增，在[1，e]上单调递增，
∴g（x）_min=g（1）=-a=[3/2]，解得a＝−
3
2，应舍去．
②当a＜0时，g（x）在（0，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增．
当-a＜1时，即-1＜a＜0，g（x）在[1，e]上单调递增，g(x)min＝g(1)＝−a＝
3
2，解得a=-[3/2]，应舍去．
当-a＞e时，即a＜-e，g（x）在[1，e]上单调递减，g(x)min＝g(e)＝1−
a
e＝
3
2，解得a=-[e/2]，应舍去．
当1≤-a≤e时，即-e≤a≤-1，g（x）在[1，-a]上单调递减，在（-a，e）单调递增，
∴g（x）_min=g（-a）=ln（-a）+1=[3/2]，解得a=-
e．
综上所述，a＝−
e．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、分类讨论的思想方法等是解题的关键．