x−3](x>3)转化为f(x)=x-3+[9/x−3]+3(x>3),应用基本不等式即可求得函数f(x)的最小值; (Ⅱ)由(Ⅰ)可求得f(x)min=9,不等式f(x)≥+7恒成立,转化为9≥[t/t+1]+7恒成立,从而求得实数t的取值范围.
(I)∵x>3, ∴x-3>0. ∴f(x)=x+ 9 x−3=x−3+ 9 x−3+3≥2 (x−3)• 9 x−3+3=9.…(3分) 当且仅当x−3= 9 x−3 即(x-3)2=9时上式取得等号, 又∵x>3, ∴x=6,…(5分) ∴当x=6时,函数f(x)的最小值是9.…(6分) (II)由(I)知,当x>3时,f(x)的最小值是9, 要使不等式f(x)≥ t t+1+7恒成立,只需9≥ t t+1+7…(9分) ∴[t/t+1−2≤0即 −t−2 t+1≤0 解得t≤-2或t>-1 ∴实数t的取值范围是(-∞,-2]∪(-1,+∞).…(12分)
点评: 本题考点: 基本不等式;函数的最值及其几何意义. 考点点评: 本题考查基本不等式,关键在于将所给的条件转化为能用基本不等式的式子,难点在于(Ⅱ)中不等式f(x)≥tt+1+7恒成立,转化为9≥[t/t+1]+7恒成立,属于难题.
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