求一矩阵分析子空间秩的证明题解（用Hamilton-Cayley定理证明）

这个题目既然有提示了应该就很明显了.我暂且当你是初学者,帮你多写一些.
对于F上的任何n阶矩阵A,记L(x)=det(xI-A),那么L(x)是A的特征多项式并且也是F上的n次首一多项式.由Cayley-Hamilton定理,L(A)=0.
由于L是首一的,A^n=A^n-L(A),右侧是F上不超过n-1次的多项式.(这一步其实就是移项)
任取F上的多项式f(x)=sum a_i x^i,那么f(A)=sum a_i A^i.
当deg(f(x))>n-1时,把f(A)中大于n-1次的项放在一起,提出A^n并用A^n-L(x)代替,这样f(A)就可以用A的不超过det(f(x))-1次多项式来表示,再用归纳法归纳一下就可以得到f(A)可以用A的不超过n-1次的多项式来表示,从而dimV