如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F．

解题思路：（1）首先连接AD，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得AD⊥BC，又由DC=BD，即可证得AB=AC；
（2）由∠BAC=40°，AB=AC，即可求得∠DOF的度数，又由AB=4，即可求得

DF

的长．

（1）AB=AC．理由：
连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵DC=BD，
∴AB=AC．

（2）连接OD，OF，
∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠B=∠C=70°，
∵OB=OC，
∴∠ODB=∠B=70°，
∴∠BOD=40°，
∵OA=OF，
∴∠OFA=∠A=40°，
∴∠AOF=100°，
∴∠DOF=180°-∠AOF-∠BOD=180°-100°-40°=40°，
∵AB=4，
∴OD=2，
∴

DF的长为：[40×π×2/180]=[4/9]π．

点评：
本题考点： 圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；弧长的计算．

考点点评： 此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．