假设函数f（x）和g（x）在[a，b]上存在二阶导数，并且g″（x）≠0，f（a）=f（b）=g（a）=g（b）=0，试

解题思路：（1）用反证法证明，对g（x）的两个区间分别使用罗尔定理，则在这两个区间内分别存在一点，使得一阶导数为零；再对g'（x）在一阶导数为零的两个点为端点的区间，使用罗尔定理，则存在二阶导为零的点，这与已知的g″（x）≠0矛盾．
（2）由

f(ξ)

g(ξ)

＝

f″(ξ)

g″(ξ)

得到f″（ξ）g（ξ）-g″（ξ）f（ξ）=0，也就是要证明f″（x）g（x）-g″（x）f（x）=0在（a，b）有零点，而f″（x）g（x）-g″（x）f（x）=0的一个原函数是f（x）g'（x）-g（x）f'（x），因此构造一个函数F（x）=f（x）g'（x）-g（x）f'（x）在（a，b）使用罗尔定理．

证明：
（1）
假设∃c∈（a，b），使得：g（c）=0，
则：g（a）=g（b）=g（c）=0，
对g（x）分别在[a，c]和[c，b]上使用罗尔定理，
则：∃ξ₁∈（a，c），ξ₂∈（c，b），使得：
g′（ξ₁）=g′（ξ₂）=0，
由于g（x）具有二阶导数，
因此：g′（x）在[ξ₁，ξ₂]同样满足罗尔定理，
∴∃ξ₃∈（ξ₁，ξ₂），
使得：g″（ξ₃）=0，这与g″（x）≠0矛盾，
∴在开区间（a，b）内g（x）≠0．
（2）
设：F（x）=f（x）g′（x）-g（x）f′（x），
则：F（x）在[a，b]连续，在（a，b）可导，且F（a）=F（b）=0，
因此由罗尔定理知，∃ξ∈（a，b），
使得：F′（ξ）=0，
即：f（ξ）g″（ξ）-g（ξ）f″（ξ）=0，
即：
f(ξ)
g(ξ)＝
f″(ξ)
g″(ξ)，证毕．

点评：
本题考点： 用罗尔定理判断导函数根的存在问题；高阶导数的求法．

考点点评： 此题是考查罗尔定理的使用，关键要从题目的条件和要证明的结论入手，寻找两者的关联点，有时候需要在两个不同的区间使用罗尔定理，并且使用两次罗尔定理．