对于任意x,[x]表示不超过x的最大整数,如[1,1]=1[-2,1]=-3,定义R上的函数f(x)=[2x]+[4x]

对于任意x,[x]表示不超过x的最大整数,如[1,1]=1[-2,1]=-3,定义R上的函数f(x)=[2x]+[4x]+[8x],若A={y|y=f(x),0≤x≤1},则A中所有元素的和为(  )
A.55
B.58
C.63
D.65
见习ee 1年前 已收到1个回答 举报

ronaldinho_82 幼苗

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解题思路:根据新定义,[x]表示不超过x的最大整数,要求y=f(x)=[2x]+[4x]+[8x],需要分类讨论有几个界点x=[1/8],[2/8],[3/8],••[8/8],对其进行讨论,从而进行求解;

∵任意x,[x]表示不超过x的最大整数,如[1,1]=1[-2,1]=-3,定义R上的函数f(x)=[2x]+[4x]+[8x],
若A={y|y=f(x),0≤x≤1},
当x∈[0,
1
8),0≤2x<[1/4],0≤4x<[1/2],0≤8x<1,f(x)=[2x]+[4x]+[8x]=0;
当x∈[
1
8,
2
8),[1/4]≤2x<[1/2],[1/2]≤4x<1,1≤8x<2,f(x)=[2x]+[4x]+[8x]=1;
当x∈[
2
8,
3
8),[1/2]≤2x<[3/4],1≤4x<[3/2],2≤8x<3,f(x)=[2x]+[4x]+[8x]=0+1=2=3;
当x∈[
3
8,
4
8),[3/4]≤2x<1,[3/2]≤4x<2,3≤8x<4,f(x)=[2x]+[4x]+[8x]=0+1+3=4;
当x∈[
4
8,
5
8),1≤2x<[5/4],2≤4x<[5/2],4≤8x<5,f(x)=[2x]+[4x]+[8x]=1+2+4=7;
当x∈[
5
8,
6
8),[5/4]≤2x<[3/2],[5/2]≤4x<3,5≤8x<6,f(x)=[2x]+[4x]+[8x]=1+2+5=8;
当x∈[
6
8,
7
8),[3/2]≤2x<[7/4],3≤4x<[7/2],6≤8x<7,f(x)=[2x]+[4x]+[8x]=1+3+6=10;
当x∈[
7
8,1),[7/4]≤2x<2,[7/2]≤4x<4,7≤8x<8,f(x)=[2x]+[4x]+[8x]=1+3+7=11;
f(1)=2+4+8=14;
所以A中所有元素的和为0+1+3+4+7+8+10+11+14=58;
故选B;

点评:
本题考点: 函数的值域.

考点点评: 此题主要考查函数的值,需要分类进行讨论,新定义一般需要认真读题,理解题意,是一道基础题;

1年前

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