在平面直角坐标系xOy中，F 1 （-4，0），F 2 （4，0），P是平面上一点，使三角形PF 1 F 2 的周长为1

（1）依题意，|PF ₁ |+|PF ₂ |+|F ₁ F ₂ |=18，∴|F ₁ F ₂ |=8，
∴|PF ₁ |+|PF ₂ |=10，点P的轨迹是椭圆，且2a=10，2c=8，
∴a=5，c=4，b=
5 2 - 4 2 =3，椭圆的方程为
x 2
25 +
y 2
9 =1 ，
∵PF ₁ F ₂ 是三角形，点P不在直线F ₁ F ₂ 上（即不在x轴上），
∴点P的轨迹方程为
x 2
25 +
y 2
9 =1 （y≠0）．
（2）根据椭圆的对称性，F ₁ P ₁ F ₂ P ₂ 是矩形当且仅当直线P ₁ P ₂ 经过原点O，且∠F ₁ P ₁ F ₂ 是直角，此时 |O P 1 |=
1
2 | F 1 F 2 |=4 （或 k P 1 F 1 • k P 1 F 2 =-1 ），
设P ₁ （x，y），则


x 2
25 +
y 2
9 =1
x 2 + y 2 =16 ，解得

x 2 =
175
16
y 2 =
81
16 ，

x=±
5
7
4
y=±
9
4 ，
∴有2个这样的矩形F ₁ P ₁ F ₂ P ₂ ，对应的点P ₁ 、P ₂ 分别为 (
5
7
4 ，
9
4 ) 、 (-
5
7
4 ，-
9
4 ) 或 (-
5
7
4 ，
9
4 ) 、 (
5
7
4 ，-
9
4 ) ．