如图,△ABC的三个顶点都在圆O上,BF,BE分别是△ABC的内角∠ABC,外角∠ABD的平分线,

1、∵BF,BE分别是△ABC的内角∠ABC,外角∠ABD的平分线
∴∠ABF=1/2∠ABC
∠ABE=1/2∠ABD
∵∠ABC+∠ABD=180°
∴∠ABF+∠ABE=∠EBF=1/2∠ABC+1/2∠ABD=90°
即∠EBF=90°
∴EF为圆O的直径
2、连接AF、CF
∴∠FAC=∠CBF
∠ACF=∠ABF
∵∠ABF=∠CBF(BF是∠ABC的平分线）
∴∠FAC=∠ACF
∴AF=CF
连接AE、CE
∵EF为圆O的直径
∴∠EAF=∠ECF=90°
∵AF=CF,EF=EF
∴RT△AEF≌RT△ECF(HL)
∴∠AFE=∠CFE
∵△ACF是等腰三角形
∴EF的AC的中线,高
∴EF垂直平分AC