指数函数的求导到底是怎么回事?我看一本介绍微积分的书,上面讲到讲到对指数的时候说：类似f(x)=2∧x 中的X仅为自然数

指数函数的求导到底是怎么回事?
我看一本介绍微积分的书,上面讲到讲到对指数的时候说：类似f(x)=2∧x 中的X仅为自然数,而像2的-8次幂,2的7/3次幂,2的根号2次幂等都不在我们定义范围内 为什么说X不能取那些非自然数?实在看不懂啊.费解的还在下面.书上设了一个函数f'(x)=f(x),然后按如下操作：因为f'(0)=f(0).①,所以如果有个h足够接近0的话,f(h)~f'(0)(h-0).由①得 f(h)~f(0)h+f(0) ② 然后,如果x足够接近h的话,就有f(x）~f'(h)(x-h)+f(h) 因此,先将x看做2h,（并且使用f(h)~f'(h) ）有:f(2h)~f(h)h+f(h)
所以有f(2h)~f(0)(1+h)∧2 依次类推,3h、4h、5h…逐一进行,只要mh=1,便会有f(1)=f(mh）~f(0)（1+h）∧m 同理有 f(2)=（2mh)~f(0)(1+h)∧2m=f(0)[(1+h)∧m]∧2…
f(n)~f(0)×a∧n （a=(1+h)∧m) 由此,可以看出一个大概的指数函数的样子.
请问这个推导过程是怎么回事?为什么指数函数要这么推导?实在看不懂啊.