已知函数f(x)＝xn−4x，且f（4）=3．

解题思路：（1）由f（4）=3可求n=1，从而可得f(x)＝x−

4

x

，然后检验f（-x）与f（x）的关系即可判断
（2）要判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，先设0＜x₁＜x₂，时，利用作差f（x₁）-f（x₂）判断f（x₁）与f（x₂）的大小即可判断
（3）由f（x）＞2x+2m+1，可得2m+1＜−x−

4

x

＝−(x+

4

x

)，只要求2m+1＜−x−

4

x

＝−(x+

4

x

)_min，可求m的范围

（1）由f（4）=3得：n=1
∴f(x)＝x−
4
x，其定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
又f(−x)＝−x−
4
−x＝−(x−
4
x)＝−f(x)
∴函数f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上为奇函数．
（2）函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
证明如下：任取x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂，
则x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
那么f(x1)−f(x2)＝(x1−
4
x1)−(x2−
4
x2)=
(x1−x2)(x1x2+4)
x1x2＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）由f（x）＞2x+2m+1，
得x−
4
x＞2x+2m+1
∴2m+1＜−x−
4
x
∴当x∈[1，3]，−(x+
4
x)的最小值是-5，
∴2m+1＜-5，得m＜-3，
所以实数m的取值范围是（-∞，-3）．

点评：
本题考点： 函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题主要考查了函数的奇偶性及函数的单调性的应用，函数的恒成立与函数的最值求解的相互转化的应用，属于函数知识的综合应用