已知函数 f(x)= x 3 -ax ， g(x)= 1 2 x 2 -lnx- 5 2

（1）∵ f(x)= x 3 -ax ， g(x)=
1
2 x 2 -lnx-
5
2 ，
∴f′（x）=3x ² -a， g ′ (x)=x-
1
x ，
令 g ′ (x)=x-
1
x =0，得x=1，（x=-1舍）
当0＜x＜1时，g′（x）0．
∴当x=1时，g（x）有极小值g（1）=-2．
∵g（x）与f（x）在同一点处有相同的极值，
∴f（1）=-2，且f′（1）=0，即

1-a=-2
3-a=0 ，
解得a=3．
（2）不等式f（x）≥2x•g（x）-x ² +5x-3转化为：
x 3 -ax≥2x(
1
2 x 2 -lnx-
5
2 )- x 2 +5x-3，
化简，得ax≤2xlnx+x ² +3，
∵x∈（0，+∞），
∴a ≤2lnx+
3
x +x ，
∵对一切x∈（0，+∞），不等式f（x）≥2x•g（x）-x ² +5x-3恒成立，
∴a≤ (2lnx+
3
x +x) min ，
记t（x）=2lnx+
3
x +x，x＞0，则 t ′ (x)=(2lnx+
3
x +x ) ′ =
2
x -
3
x 2 +1 =
x 2 +2x-3
x 2 ，
令t′（x）=0，得
x 2 +2x-3
x 2 =0 ，解得x=1．
在（0，1）上，t′（x）＜0；在（1，+∞）上，t′（x）＞0．
故当x=1时，t（x）有极小值为4，
故a∈（-∞，4]．
（3）证明：∵g（x）=
1
2 x 2 -lnx-
5
2 ，
∴ G(x)=
1
2 x 3 -
5
2 x-xg(x)+
1
2
=
1
2 x 3 -
5
2 x-
1
2 x 3 +xlnx+
5
2 x+
1
2
=xlnx+
1
2 ，
∵当 x≥1时，总有G(x)≤
1
2 x 2 成立 ，
∴当 x≥1时，总有G(x)≤
1
2 x 2 成立 ≥1时，总有xlnx≤
1
2 x 2 -
1
2 ．
设F（x）=xlnx+
1
2 -
1
2 x 2 ，x≥1
则F′（x）=lnx+1-x，令F′（x）=0，得x=1．
当x＞1时，F′（x）＜0，F（x）是减函数，
∴F（x）=xlnx+
1
2 -
1
2 x 2 ≤0．
故当 x≥1时，总有G(x)≤
1
2 x 2 成立 ．