设函数f(x)的定义域为自然数集,若f(x+y)=f(x)+f(y)+x对任意自然数x,y恒成立,且f(1)=1,求f(

设函数f(x)的定义域为自然数集,若f(x+y)=f(x)+f(y)+x对任意自然数x,y恒成立,且f(1)=1,求f(x)的解析式.
yu-fz 1年前 已收到4个回答 举报
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liaotianboke 幼苗

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f(x+y)=f(x)+f(y)+x
令x=0得f(y)=f(0)+f(y),f(0)=0
令y=1得f(x+1)=f(x)+x+1
f(x)-f(x-1)=x
f(x-1)-f(x-2)=x-1
...
f(2)-f(1)=2
累加：f(x)-f(1)=(x+2)(x-1)/2 （x>1）
f(x)=x²/2+x/2 0和1满足

1年前

4

游走天地之间 幼苗

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令y = 1, 则f(x+1) = f(x)+f(1)+x = f(x)+x+1，
∴ f(1) = 1
f(2)= f(1) +2
f(3) = f(2) +3
…
f(n) = f(n－1) +n
各式相加得：f(n) = 1+2+3+…+n =
∴ f(x) =
数自己算！

1年前

1

deiwin 幼苗

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当x=o,y=0时，f(0)=f(0)+f(0)+0=0
当x=0,y=1时，f(1)=f(0)+f(1)+0=1
当x=1,y=0时，f(1)=f(1)+f(0）+1=1
所以这个题出错了

1年前

1

niu572589 幼苗

共回答了28个问题 举报

anranlethe 算错了，0这里不能被看作自然数，因而不能代入以上等式来求解。令x=1，y=x(x为任意自然数)，可得：f(1+x)-f(x)=f(1)+1=2，所以f（x）是公差为2的等差数列，初始项f(1)=1，即f(x)=1+2*（x-1) 。

1年前

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