已知函数f（log a x）= a a-1 （x- 1 x ）（a＞0且a≠1）．

（1）令log _a x=t，则x=a ^t ，
∴ f(t)=
a
a-1 ( a t -
1
a t )
∴ f(x)=
a
a-1 ( a x -
1
a x )，x∈R _{-----------------------------------------------} （4分）
因为 f(-x)=
a
a-1 ( a -x -
1
a -x )=-f(x)
∴f（x）为奇函数 _{-------------------} （6分）
（2）因为∀x ₁ ，x ₂ ∈R当x ₁ ＜x ₂ 时都有f（x ₁ ）＜f（x ₂ ）成立，
所以f（x）在R上单调递增 _{------------------------------} （8分）
由f（1-m）+f（m ² -1）＜0得f（m ² -1）＜-f（1-m），
又f（x）为奇函数，
∴-f（1-m）=f（m-1），即f（m ² -1）＜f（m-1），
_{------------------------------} （10分）
由f（x）在R上单调递增得m ² -1＜m-1，
即m ² ＜m解得0＜m＜1
故实数m的取值范围为（0，1） _{------------------------------} （12分）