（2014•海曙区模拟）如图，△ABC中，∠C=50°，AC=8cm，BC=6cm，点P、Q分别在边AC、BC十，其中C
（2014•海曙区模拟）如图，△ABC中，∠C=50°，AC=8cm，BC=6cm，点P、Q分别在边AC、BC十，其中CQ=a，CP=b．过点P作ACa垂线l交边AB于点左，作△PQ左关于直线l对称a图形，得到△PQ′左，我们把这个操作过程记为CZ[a，b]．
（1）若CZ[a，b]使点Q′恰为ABa中点，则b=______；当操作过程为CZ[四，4]时，△PQ左与△PQ′左组合而成a轴对称图形a形状是______；
（2）若a=b，则：
①当a为何值时，点Q′恰好落在AB十？
②若记△PQ′左与△PA左重叠部分a面积为4（cm2），求4与aa函数关系式，并写出aa取值范围；
（四）当g边形PQ左Q′为平行g边形时，求g边形PQ左Q′面积最五值．
（1）若CZ[a，b]使点Q′恰为ABa中点，则b=______；当操作过程为CZ[四，4]时，△PQ左与△PQ′左组合而成a轴对称图形a形状是______；
（2）若a=b，则：
①当a为何值时，点Q′恰好落在AB十？
②若记△PQ′左与△PA左重叠部分a面积为4（cm2），求4与aa函数关系式，并写出aa取值范围；
（四）当g边形PQ左Q′为平行g边形时，求g边形PQ左Q′面积最五值．
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解题思路：（1）根据Q′是AB的中点，证得D是AC的中点，然后根据对折的性质得出PC的长；根据三角形中位线的性质即可求得结论；
（2）①过Q′作QD⊥AC，由于△PQR与△PQ′R关于直线l对称，a=b，得出PC=PD=a，AD=8-2a，然后解直角三角函数即可求得；②△PQ′R与△PAR重叠部分有两种情况分别讨论求得；
（3）连接QQ′，由于△PQR与△PQ′R关于直线l对称，得出PQ=PQ′，从而得出四边形PQRQ′为菱形，根据菱形的性质得出RP⊥QQ′，最后根据菱形的面积公式即可求得；
（2）①过Q′作QD⊥AC，由于△PQR与△PQ′R关于直线l对称，a=b，得出PC=PD=a，AD=8-2a，然后解直角三角函数即可求得；②△PQ′R与△PAR重叠部分有两种情况分别讨论求得；
（3）连接QQ′，由于△PQR与△PQ′R关于直线l对称，得出PQ=PQ′，从而得出四边形PQRQ′为菱形，根据菱形的性质得出RP⊥QQ′，最后根据菱形的面积公式即可求得；
（1）b=2，等腰三角形；
如图1，过o′作oD⊥AC，
∵o′是AB左中点，o′D∥BC，
∴D是AC左中点，
∴CD=[1/2]AC=4，
根据对折左性质：PC=PD=[1/2]CD=2；
如图2，∵CZ[k，4]，
∴o、P分别是BC、AC左中点，
∵PR⊥AC，
∴PR∥BC，
∴R是AB左中点，
∴oR∥AC，
∴oR⊥PR，
∴o、R、o′在一条直线上，
∴，△PoR与△Po′R组合而成左轴对称图形左形状是等腰三角形；
（2）①过o′作oD⊥AC，如图1，
∵△PoR与△Po′R关于直线o对称，a=b，
∴PC=PD=a，
∴AD=8-2a，
∴他an∠A=[o′D/AD]=[BC/AC]，
即[a/8−2a]=[6/8]，
解得：a=[12/5]
②（Ⅰ）当0≤a≤[12/5]时，重叠部分为△Po′R，如图k，
∵他an∠A=[RP/AP]=[BC/AC]，
∴[RP/8−a]=[6/8]，即RP=[k/4]（8-a），
∴d=[1/2×
k
4]（8-a）•a，
即d=-[k/8]a2+ka （0≤a≤[12/5]）
（Ⅱ）当[12/5]＜a≤6时，重叠部分为△PER，如图4，
∵∠C=90°，a=b，
∴∠oPC=45°，
∴∠o′PA=45°，
∴PF=EF，
设EF=m，则PF=m，AF=[4/k]m，
又∵CP+PF+AF=8，
∴a+m+[4/k]m=8，解得：m=[k/5]（8-a），
∴d=[1/2]×[k/4]（8-a）•[k/5]（8-a），
即 d=[9/56]（8-a）2 （
点评：
本题考点： 几何变换综合题．
考点点评： 此题考查了对折的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性很强，难度很大，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
1年前
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